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數學的邀請:數學,僅僅是一種語言?

發布時間:2021-09-14 作者:李韌 來源:中國教育新聞網

數學命題僅僅是一種語法而已?!返戮S?!ぞS特根斯坦

1939年,20世紀乃至人類有史以來最偉大的兩位數理邏輯天才:49歲的路德維?!ぞS特根斯坦(邏輯分析哲學先驅)和27歲的阿蘭·圖靈(計算機之父)同期在劍橋大學分別開設了一門名叫“數學基礎”的課程。

年輕23歲的圖靈資歷較淺,于是特意前往拜訪,意圖旁聽維特根斯坦開設的課程。在談論一些數學哲學和邏輯學的瑣細問題后,維特根斯坦認為圖靈具備旁聽自己課程的“資格”。盡管圖靈此時已發表一篇重要性用任何形容詞都不會過分的文章《論可計算的數》,奠定了后來整個計算機科學相關數學和邏輯的基礎。

圖靈致力講授的數學基礎,是數學世界的邏輯證明,通過選取一組嚴密而簡潔的公理,作為整個數學的邏輯起點,按照一定的規則,通過推導發展成為龐大的數學大廈,并試圖驗證這個過程在技術上存在哪些錯誤和局限。

而維特根斯坦意圖討論的“數學基礎”,卻貌似一種鄙夷數學的哲學原理,至少當時劍橋大學大多數鉆研數學的師生們都傾向于這樣認為。

而維特根斯坦也反復說:“我要一次又一次地說明,所謂的數學發現稱為數學發明更為確切?!睌祵W證明并不能夠確立一項結論是真理,其只能確定一些數學符號的意義。

因而,數學中那些看上去天經地義不可置疑的東西(比如三角形任意兩邊之和大于第三邊),并非新增了某個關于世界的事實,而只是換了一種說法(任意兩邊之和大于第三邊其實就包含在對三角形的定義中)。

維特根斯坦說,“數學命題僅僅是一種語法而已?!?/p>

實際上,這觸及了所有數學家不肯正視的一個信念:所謂數學和邏輯的嚴謹性——有些人愿意稱作為理性,不過是人類的一種語言結構。

古人創造數學這門語言或符號系統的最初目的,是嘗試描述藏在世界背后的真相并獲得實用價值。但是,人類最后能否找到這種真相,或是精確描述該真相,卻和我們運用的語言本身的嚴謹與否,沒有直接關系。

可惜的是,其后代卻錯誤地認為加強這種語言的嚴謹性,能夠引領人類接近世界的真正本質。

因而,當法國數學大師柯西17歲之前除了拉丁語和希臘語什么都沒學過,17歲后才正式地接觸數學,卻運用語言學方法,重新闡釋了微積分。盡管柯西的這種語言分析的做法,無疑是成功的,卻還被數學界認為是破壞了牛頓微積分的藝術意義上的美。

數學只是一門語言,而更讓人遺憾是,語言在傳達核心信息時,無論其過程中多么準確和有效,但是,其傳遞之初來自于并不理性的感覺。

而柯西以后的數學家們,竟然還在堅持完善這門語言的邏輯性和嚴謹性,才是數學的旨趣,而根本遺忘了祖先們發明數學工具的本意。

這種觀點直接導致了證明過程凌駕于結論,對這門語言嚴謹性的關注超過了語言所描述事物本身。

西方人習慣性地認為數學源自古希臘,因為數學在此前無盡漫長的歲月里從未要求過證明。

發明數學的古人,理所當然地認為,數學結果較之一連串數學證明,顯然要重要得多。蘇美爾人的數學是不講證據的,這讓許多現代數學家感到困惑。而這一點對古代社會來講再正常不過,并絕非某種例外。埃及人、中國人和古印度人的數學中對過程的證明,也不過是某種附帶的興趣。得出數學結論的證明過程,只是其達到實用目標的工具,而非相反。

古希臘人改變了數學思維。因為數學在古希臘成為一種神學和宗教。這源于畢達哥拉斯。羅素說整個西方哲學史是柏拉圖的注腳,而柏拉圖可能是畢達哥拉斯的注腳。柏拉圖曾進入畢達哥拉斯學派進行學習,并特別在自己的學園門框上刻字:不懂幾何,勿進學園。

而當年畢達哥拉斯游歷埃及、中東時,埃及人、巴比倫人已經會求解線性方程、二次方程,以及在畢達哥拉斯很久之前就知道了畢達哥拉斯數。畢達哥拉斯被埃及人、巴比倫人的數學成就驚服,當時有人把世界的本原歸為神歸為水歸為氣,比如西方第一個哲學泰勒斯認為世界本原是水,而畢達哥拉斯把世界的本原歸為數。他認為萬物皆數,把數學無限推崇的激情轉化為一種神化的迷信。這是一種迷信當然也是一種敏銳。他還組織起關于數學的宗教團體,當有忠實門徒發現無理數威脅到其信仰時,他就殘忍地偷偷帶人將其殺害扔入愛琴海毀尸滅跡。

追因溯源來看,西方數學家(也包括哲學家)追求數學理性的方式,反而并不理性。古希臘人驚艷于東方幾何數學的嚴謹理性,而由此升華為一種激情和信仰。不再關注幾何數學本身,而是一力維護證明幾何數學的正確性,試圖將數學幾何這種人類的有限實踐方式,上升為追求終極的途徑,并為以此通神,這本身就有點荒謬。

因而,數學從根本上致命的一個問題是:不論數學這門語言的結構何等工整嚴謹,其基礎卻并非出自理性的推導。

無論數學定理如何精準,然而作為其推論前提的數學公理本身,卻沒有證明。幾何中對公理的定義,就是所有人公認的定理,而無須證明,也無從證明。這就好比建筑工程師一直在證明摩天大樓鋼筋水泥的結構強度,卻故意忽視這棟大樓建立在流動不居沙地之上的事實。

數學這門語言的出現,或者應當說是現代人對數學這門語言的誤解,使得人類嘗試探知實踐宇宙的努力,本末倒置。

最終,數學家們殫精竭慮皓首窮年地論證數學推理過程中的準確性,最后回頭卻發現數學從一開頭就沒法證明其準確性。

任何語言的發明都是一種基于感性產生的結果,因為人類需要通過語言與現實進行溝通。

故而,數學作為一種語言,在其成長過程中,不論最終磨礪出了何等的精確和嚴謹,它都擺脫不了其非理性的血統。


【書單推薦】

這5本書讓你三分鐘了解數學。

只要你為你的生命駐足一刻,就可以和數學來一次親密接觸。


《數學:確定性的喪失》

作者:  [美] M·克萊因

譯者: 李宏魁

出版社: 湖南科學技術出版社

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【推薦語】

美國著名數學家、數學教育家、數學史家克萊因寫的最好的書,比他寫的《古今數學思想》還好。

這幾乎就是一部關于數學的小說傳奇,情節跌宕起伏,懸疑峰回路轉,穿插眾多數學界的小故事。

這是一部史詩似的著作,描繪了特別生動的數學世界。

在書中,克萊因指出,今天,普遍接受的數學概念已不復存在,事實上,有許多相互矛盾的數學概念。

絕大多數有知識的人,至今仍然認為數學是關于物質世界的不可動搖的知識體系,數學推理是準確無誤的。

這本專著駁斥了這種神話。


《天才之為責任——維特根斯坦傳》

作者: 瑞·蒙克

出版社: 浙江大學出版社

副標題: 天才之為責任

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【推薦語】

蒙克的《維特根斯坦傳》豐富、深入、好讀,公認是維特根斯坦最佳傳記。

在我看,實是思想家傳記中少見的佳作,不僅向我們展現了這位偉大思想家的深刻的靈魂生活,

而且有助于我們理解他的哲學思想。

譯者王宇光中英文俱佳,不辜負原著?!惣斡?/span>

維特根斯坦,20世紀最重要的哲學家之一,語言哲學的奠基人。

蒙克的《維特根斯坦傳》,公認是維特根斯坦最佳傳記,自出版以來廣受贊譽。

全書運用大量生動、翔實的第一手資料描繪維特根斯坦獨特的精神世界以及傳奇的一生。

與一般人對天才的流俗理解不同,在維特根斯坦那里,成為一個天才,是對自我的絕對律令。

該書文字精彩,結構完整,深刻勾勒出思想家深度精神生活的圖景,堪稱一流思想傳記。


《什么是數學:對思想和方法的基本研究》

作者:  R·柯朗,H·羅賓著,I·斯圖爾特

譯者: 張飴慈譯.汪宇策劃.

出版社: 復旦大學出版社,2012.1

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【推薦語】

數學教學有時竟演變成空洞的解題訓練,這種訓練雖然可以提高形式推導的能力,

但卻不能帶來真正的理解與深入的獨立思考。

《什么是數學:對思想和方法的基本研究》這種通俗的數學講法,真的應該是所有故作玄虛的教科書采納。

本書按照代數、幾何、分析的數學三大分枝的順序而寫,循循善誘,由淺入深,將整個數學大廈建立在極簡單的基礎上。

全書抽絲剝繭地從數學的根部(小學數學水平)開始回溯,對奠定扎實的基礎數學觀很有裨益,

鞭辟入里,充滿睿智,是一部不可多得的科普作品。


《西方文化中的數學》

作者:  [美] M·克萊因

出版社: 復旦大學出版社

譯者: 張祖貴

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【推薦語】

《西方文化中的數學》是M·克萊因的另一部力作。

該書自1953年出版后,多次再版,深受數學界認同、大眾歡迎,影響經久不衰。

全書系統地闡述不同歷史時期數學與人文科學、自然科學等其他領域的內在聯系,

并詳細說明了數學對西方文化、人類思想的發展所產生的深刻影響,

有力地證明了數學是人類文明中不可缺少的組成部分和重要力量。

《數學之美》

作者:  [美國] 吳軍

出版社: 人民郵電出版社

出版年: 2012-5-1

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【推薦語】

吳軍博士把高深的數學原理講得通俗易懂,讓普通讀者也能領略數學的魅力。

全書通過具體的例子呈現數學思考的方式:化繁為簡、量化解決工程問題、跳出常識思維多角度轉換思考等等。

讀了“數學之美”,才發現以前學的數學,比如各種計算、函數原來都如此親切,

并且生動有趣,才發現自然語言和數學處理這么有趣。

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